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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 8 - Integrales

EJERCICIO 1

Hallar primitivas de las siguientes funciones:

a) f(x)=x5f(x)=x^{5}
b) f(x)=4x3−5x2+x+7f(x)=4 x^{3}-5 x^{2}+x+7
c) f(x)=1x+1x2f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}
d) f(x)=x2x+3cos⁡(x)f(x)=x^{2} \sqrt{x}+3 \cos (x)
e) f(x)=2x43+5x4f(x)=2 \sqrt[3]{x^{4}}+\frac{5}{\sqrt[4]{x}}
f) f(x)=4sen⁡(x)−3exf(x)=4 \operatorname{sen}(x)-3 e^{x}
EJERCICIO 2

Analizar si las siguientes integrales son correctas o no:

a) ∫2x+1dx=x2+x+C\int \sqrt{2 x+1} d x=\sqrt{x^{2}+x}+C
b) ∫2x+1dx=13(2x+1)3+C\int \sqrt{2 x+1} d x=\frac{1}{3}(\sqrt{2 x+1})^{3}+C
c) ∫xcos⁡(x)dx=x22sen⁡(x)+C\int x \cos (x) d x=\frac{x^{2}}{2} \operatorname{sen}(x)+C
d) ∫xcos⁡(x)dx=xsen⁡(x)+cos⁡(x)+C\int x \cos (x) d x=x \operatorname{sen}(x)+\cos (x)+C
EJERCICIO 3

Una partícula se mueve de acuerdo con la información dada. Determinar la posición s(t)s(t) de la partícula sabiendo que v(t)v(t) es la función de velocidad en el instante tt y que a(t)a(t) es la función que da la aceleración de la partícula en el instante tt :

a) v(t)=32t,s(4)=10v(t)=\frac{3}{2} \sqrt{t}, s(4)=10
b) a(t)=3cos⁡(t)−2sen⁡(t),s(0)=0,v(0)=0a(t)=3 \cos (t)-2 \operatorname{sen}(t), s(0)=0, v(0)=0
c) a(t)=t2−4t+6,s(0)=0,s(1)=20a(t)=t^{2}-4 t+6, s(0)=0, s(1)=20
EJERCICIO 5

Calcular las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:

a) ∫(3x2+5)ex3+5xdx\int\left(3 x^{2}+5\right) e^{x^{3}+5 x} d x
b) ∫sen⁡(ln⁡(x))xdx\int \frac{\operatorname{sen}(\ln (x))}{x} d x
c) ∫8xx2−13dx\int 8 x \sqrt[3]{x^{2}-1} d x
d) ∫e5x1+e5xdx\int \frac{e^{5 x}}{\sqrt{1+e^{5 x}}} d x
e) ∫sen⁡5(x3)cos⁡(x3)dx\int \operatorname{sen}^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos \left(\frac{x}{3}\right) d x
f) ∫tg⁡(2x)dx\int \operatorname{tg}(2 x) d x
EJERCICIO 6

Pareciera que podemos integrar 2sen⁡(x)cos⁡(x)2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) de tres maneras distintas:

  a) ∫2sen⁡(x)cos⁡(x)dx=⏟u=sen⁡(x)∫2udu=u2+C1=sen⁡2(x)+C1\int 2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x \underbrace{=}_{u=\operatorname{sen}(x)} \int 2 u d u=u^{2}+C_{1}=\operatorname{sen}^{2}(x)+C_{1}
b) ∫2sen⁡(x)cos⁡(x)dx=⏟u=cos⁡(x)∫−2udu=−u2+C2=−cos⁡2(x)+C2\int 2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x \underbrace{=}_{u=\cos (x)} \int-2 u d u=-u^{2}+C_{2}=-\cos ^{2}(x)+C_{2}
c) ∫2sen⁡(x)cos⁡(x)dx=∫sen⁡(2x)dx=⏟u=2x∫12sen⁡(u)du=−12cos⁡(u)+C3=−12cos⁡(2x)+C3\int 2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x=\int \operatorname{sen}(2 x) d x \underbrace{=}_{u=2 x} \int \frac{1}{2} \operatorname{sen}(u) d u=-\frac{1}{2} \cos (u)+C_{3}=-\frac{1}{2} \cos (2 x)+C_{3}
¿Las tres maneras son correctas? Justificar la respuesta.

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